由根号2牵出的无理数问题

玫子

根号2作为无理数只是人为规定的，数学上有很多类似的规定，讲不出什么本质原由，这种硬性规定如果脱离了实际，不仅会自相矛盾，也导致数学与物理及哲学的严重脱节，造成概念上的含糊不清，有必要说道说道。

数学上定义的无理数是，“非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，也就是说它是无限不循环小数。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式”。习惯上把无理数称作无限不循环小数。

有一个简单说法是，“当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能测量，即没有长度（度量）”。

结合实际情况，数学想要表达的意思是，无理数不能用既定标准度量，没有可比性，不好理解。这就是说，无理数牵涉到标准问题，不管有理无理，必须对应住标准作为确定。

通过前面的文章已经知道标准的意义了，下面参考图1进行说明。

① 先来说说π。π是数学意义上典型的无理数，在《无理数的有限制约》中就是受限的圆弧，只能取逼近值，如图1(a)所示。因为直线是长度标准，以直线为标准没办法度量圆弧，即不好理解，或者说拿直线标准来测量圆弧的长度，没办法用确定的数来表达，不像分数那样至少还能表达出来。很明显的意义在于，圆弧的长度没办法确切地对应到长度标准上，在代数运算上就是没有能够确定的表达方式。这种现象已经超出数学范畴，捅住了哲学的对立统一，即圆和方的对立统一，如图1(b)所示，两圆相切于直线。直线是组成方的基础，直线和圆刚好相反，以直线为标准则圆为非标，直线可以确定即有理数，圆不能确定即无理数，有理数和无理数对立统一，相反相成，永远都不要再指望把π算尽了！

② 根号2的身份。图1(c)是圆内接正方形。设正方形的边长为1，显然对角线既是根号2又是圆的直径。因为根号2是无限不循环小数，若像π那样直接定为无理数，会有以下矛盾。

㊀ 与π的性质不同，π是因为圆周长无法对应到直线标准才叫无理数的，而根号2是直径，对应的是直线标准，与无理数相反，理所应当属于有理数。

㊁ 与代数运算矛盾，代数运算除四则运算外也包括乘方和开方，根号2可以表述为根号(1＾2+1＾2)，能够确切地对应住基本标准，属于有理数。

㊂ 依性质定义为有理数，但又是无限不循环小数，和无理数的定义矛盾。

鉴于根号2的重要意义，这个问题是很麻烦的。

③ 超越数问题。因为根号2的矛盾，也要思考超越数问题。π既是无理数又是超越数，而且是纯粹的超越数，这个没有争议。但e就不同了，e可由泰勒级数获得，是能够以数为标准表达的，这要决定对自然数的定义。自然数按有理数（可数），则e为有理数，否则（无穷，不可数）就是无理数，貌似与超越数无关。若是全自然数就不存在这个争议了。同理微积分也存在这样的问题。

④ 如何对待。由于人类文明一直处于猜测状态，数学就像脱缰的野马，定义不准确是客观情况，存在争议也很正常。现在回到本原上重新梳理，把概念彻底弄清楚，避免继续信马由缰。谨归纳以下两点供参考：

㊀ 继续当前的定义，但含义要搞清楚，因为数学要担负起物理和哲学的重任。

㊁ 凡涉及到弧长的既是无理数又是超越数。

参考前期文章：《无理数的有限制约》《有趣的共同标准》《万象定理(14)对立统一的绝对化说明》《全自然数》《增加意境修辞，减少交流冲突》

（作者笔名：玫子；本名：李海深）